Définition
La suite est définie par F(0) = 0, F(1) = 1 et F(n) = F(n−1) + F(n−2). Décrite par Leonardo Fibonacci en 1202 à propos de la croissance d’une population de lapins, elle apparaît dans la nature : pommes de pin, tournesols, coquilles.
La suite de Fibonacci, terme après terme
Chaque terme de la suite est la somme des deux précédents. Les termes grandissent vite, d’environ un chiffre tous les cinq indices. Un calculateur les calcule en continu, palier après palier, jusqu’à des centaines de millions d’indices, et publie ici le dernier terme atteint.
F(n) = F(n−1) + F(n−2) F(0) = 0, F(1) = 1
Les termes de la suite
Chaque pastille est un terme : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… Les termes sont calculés dans votre navigateur ; le fichier des premiers termes est proposé plus bas au téléchargement.
Dernier terme calculé
Un calculateur tourne en permanence : chaque palier repart du précédent, est vérifié, puis publié. Voici le terme le plus avancé, mis à jour automatiquement.
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Indice n du dernier terme
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Chiffres de F(n)
Aucun terme publié pour le moment (ou vous êtes hors ligne).
Explorer les chiffres du dernier terme
Chercher une position
Entrez un rang pour afficher le chiffre correspondant (1 = premier chiffre).
Chercher une suite de chiffres
Entrez une suite de 2 à 20 chiffres.
Distribution des chiffres 0 à 9
Chargement des statistiques…
Un terme de la suite
Entrez un indice de 0 à 10 000 pour afficher F(n), calculé dans votre navigateur.
Télécharger
Le fichier des termes contient les 10 000 premiers termes de la suite, de F(0) à F(9 999), séparés par une espace (10 termes par ligne). Le fichier global contient tous les chiffres du terme le plus avancé, en lignes de 100 chiffres. Chaque fichier commence par un court en-tête ; le fichier global est mis à jour à chaque palier.
Aucun fichier n’est disponible pour le moment (ou vous êtes hors ligne).
Comprendre la suite de Fibonacci
Doublage rapide
Plutôt que d’additionner n fois, le calculateur utilise F(2k) = F(k)·(2F(k+1) − F(k)) et F(2k+1) = F(k)² + F(k+1)² : le nombre d’étapes est celui des bits de n, et chaque palier repart du précédent.
Identité de Cassini
Pour tout n, F(n−1)·F(n+1) − F(n)² = (−1)ⁿ. Chaque terme publié est contrôlé par cette identité, puis par un calcul modulaire indépendant, avant d’être affiché.
Nombre d’or
Le quotient de deux termes consécutifs tend vers le nombre d’or φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618, et la formule de Binet donne F(n) = (φⁿ − (−φ)⁻ⁿ) / √5. Les décimales de φ sont calculées sur phi.tmktools.com.
Nombre de Lucas
Le compagnon L(n) vérifie L(n)² = 5F(n)² + 4(−1)ⁿ. C’est grâce à cette identité que le calculateur retrouve F(n+1) à partir d’un simple fichier contenant F(n), et détecte au passage un fichier corrompu.
Taille des termes
F(n) possède environ 0,209 × n chiffres : F(100) en a 21, F(1 000 000) en a 208 988. Le calcul est mené en arithmétique entière (BigInt), sans nombres flottants : chaque chiffre affiché est exact.
À propos de l’application
- Termes en pastilles. Les 2 000 premiers termes peuvent être affichés un à un, et les 10 000 premiers sont téléchargeables dans un fichier où chaque terme est séparé du suivant par une espace.
- Calcul continu. Un calculateur autonome calcule les termes palier après palier (10, 20, …, 900 000, puis chaque million) et publie un fichier par palier.
- Vérification. Chaque palier est contrôlé par l’identité de Cassini et par un calcul modulaire indépendant avant d’être publié ; un fichier corrompu est rejeté à la reprise.
- Installable. L’application peut être installée comme une application native ; l’interface reste disponible hors ligne, les données se mettent à jour à la reconnexion.
- Vie privée. Aucun traceur, aucun cookie, aucune donnée collectée.